Lineær relasjonsdefinisjon

Hva er et lineært forhold?

Et lineært forhold (eller lineær assosiasjon) er et statistisk begrep som brukes for å beskrive en rett linje sammenheng mellom en variabel og en konstant. Lineære forhold kan uttrykkes enten i et grafisk format der variabelen og konstanten er koblet via en rett linje eller i et matematisk format der den uavhengige variabelen multipliseres med skråningskoeffisienten, lagt til med en konstant, som bestemmer den avhengige variabelen.

Et lineært forhold kan kontrasteres med et polynomisk eller ikke-lineært (buet) forhold.

Viktige takeaways

Et lineært forhold (eller lineær assosiasjon) er et statistisk begrep som brukes for å beskrive et rettlinjet forhold mellom en variabel og en konstant. Lineære sammenhenger kan uttrykkes enten i et grafisk format eller som en matematisk ligning av formen y = mx + b.Lineære forhold er ganske vanlige i dagliglivet.

Den lineære ligningen er:

Matematisk sett er et lineært forhold en som tilfredsstiller ligningen:

$\begin{matrix} y = m x + b \\ hvor: \\ m = skråningen \\ b = y-aksen \end{matrix} \ begynne {justert} & y = mx + b \\ & \ textbf {hvor:} \ & m = \ text {skråning} \ & b = \ tekst {y-avskjæring} \ \ end {justert}$ y = mx + bwhere: m = slopeb = y-skjærings

I denne ligningen er “x” og “y” to variabler som er relatert av parameterne “m” og “b”. Grafisk plottes y = mx + b i xy-planet som en linje med skråningen "m" og y-avskjæringen "b." Y-avskjæringen "b" er ganske enkelt verdien til "y" når x = 0. Skråningen "m" beregnes ut fra to individuelle punkter (x ₁, y ₁) og (x ₂, y ₂) som:

$m = \frac{(y_{2} - y_{1})}{(x_{2} - x_{1})} m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}$ m = (x2 -X1) (y2-Y1-)

Lineært forhold

Hva forteller et lineært forhold deg?

Det er tre sett med nødvendige kriterier en ligning må oppfylle for å kvalifisere som en lineær: en ligning som uttrykker et lineært forhold kan ikke bestå av mer enn to variabler, alle variablene i en ligning må være til den første kraften, og ligningen må tegne grafen som en rett linje.

En lineær funksjon i matematikk er en som tilfredsstiller egenskapene til additivitet og homogenitet. Lineære funksjoner overholder også superposisjonsprinsippet, som sier at nettoutgangen til to eller flere innganger tilsvarer summen av utgangene til de enkelte inngangene. Et ofte brukt lineært forhold er en korrelasjon, som beskriver hvordan en variabel endres på en lineær måte til endringer i en annen variabel.

I økonometrikk er lineær regresjon en ofte brukt metode for å generere lineære forhold for å forklare forskjellige fenomener. Ikke alle forhold er imidlertid lineære. Noen data beskriver forhold som er buede (for eksempel polynomforhold) mens andre data ikke kan parametriseres.

Lineære funksjoner

Matematisk likt et lineært forhold er begrepet en lineær funksjon. I en variabel kan en lineær funksjon skrives som følger:

$\begin{matrix} f (x) = m x + b \\ hvor: \\ m = skråningen \\ b = y-aksen \end{matrix} \ begynne {justert} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {hvor:} \ & m = \ text {skråning} \ & b = \ tekst {y-avskjæring} \ \ end {justert}$ f (x) = mx + bwhere: m = slopeb = y-skjærings

Dette er identisk med den gitte formelen for et lineært forhold bortsett fra at symbolet f (x) brukes i stedet for y. Denne substitusjonen er gjort for å markere betydningen av at x er kartlagt til f (x), mens bruken av y ganske enkelt indikerer at x og y er to mengder, relatert av A og B.

I studien av lineær algebra blir egenskapene til lineære funksjoner grundig studert og gjort strenge. Gitt en skalær C og to vektorer A og B fra RN, sier den mest generelle definisjonen av en lineær funksjon at: $c x f (EN + B) = c x f (EN) + c x f (B) c \ ganger f (A + B) = c \ ganger f (A) + c \ ganger f (B)$ c x f (A + B) = c x f (A) + c x f (B)

Eksempler på lineære forhold

Eksempel 1

Lineære forhold er ganske vanlige i dagliglivet. La oss ta for eksempel hastighetsbegrepet. Formelen vi bruker for å beregne hastighet er som følger: hastigheten er hastigheten som er tilbakelagt over tid. Hvis noen i en hvit Chrysler Town og Country minivan fra 2007 reiser mellom Sacramento og Marysville i California, en strekning på 41, 3 kilometer på motorvei 99, og hele reisen ender opp med å ta 40 minutter, vil hun ha reist rett under 60 km / t.

Selv om det er mer enn to variabler i denne ligningen, er det fortsatt en lineær ligning fordi en av variablene alltid vil være en konstant (avstand).

Eksempel 2

Et lineært forhold kan også finnes i ligningsavstanden = hastighet x tid. Fordi avstand er et positivt tall (i de fleste tilfeller), vil dette lineære forholdet uttrykkes øverst til høyre i en graf med en X- og Y-akse.

Hvis en sykkel laget for to kjørte med en hastighet på 30 miles per time i 20 timer, vil syklisten ende med å reise 600 miles. Representert grafisk med avstanden på Y-aksen og tiden på X-aksen, ville en linje som sporer avstanden over de 20 timene, bevege seg rett ut fra konvergensen av X- og Y-aksen.

Eksempel 3

For å konvertere Celsius til Fahrenheit, eller Fahrenheit til Celsius, ville du bruke ligningene nedenfor. Disse ligningene uttrykker et lineært forhold på en graf:

$° C = \frac{5}{9} (° F - 32) \ grad C = \ frac {5} {9} ( grad F - 32)$ ° C = 95 (° F-32)

$° F = \frac{9}{5} (° C + 32) \ grad F = \ frac {9} {5} ( grad C + 32)$ ° F = 59 (C + 32)

Eksempel 4

Anta at den uavhengige variabelen er størrelsen på et hus (målt med kvadratmeter) som bestemmer markedsprisen på et hjem (den avhengige variabelen) når det multipliseres med skråningskoeffisienten på 207, 65 og deretter blir lagt til den konstante termen $ 10 500. Hvis et hjemmes kvadratmeter er 1 250, er markedsverdien til hjemmet (1 250 x 207, 65) + $ 10 500 = $ 270, 062, 50. Grafisk og matematisk ser det ut som følger:

I dette eksemplet, når husets størrelse øker, øker husets markedsverdi på en lineær måte.

Noen lineære forhold mellom to objekter kan kalles en "konstant av proporsjonalitet." Dette forholdet fremstår som

$\begin{matrix} Y = k x X \\ hvor: \\ k = konstant \\ Y, X = proporsjonale mengder \end{matrix} \ begynne {justert} & Y = k \ ganger X \\ & \ textbf {hvor:} \ & k = \ text {konstant} \ & Y, X = \ tekst {proporsjonale mengder} \ \ end {justert}$ Y = k × Xwhere: k = constantY, X = proporsjonale mengder

Når du analyserer atferdsdata, er det sjelden et perfekt lineært forhold mellom variabler. Imidlertid kan trendlinjer finnes i data som danner en grov versjon av et lineært forhold. For eksempel kan du se på salg av iskrem og antall sykehusbesøk som de to variablene som spilles i en graf og finne et lineært forhold mellom de to.

Innholdsfortegnelse: