Macaulay-varighet

Hva er Macaulay-varigheten

Macaulay-varigheten er det veide gjennomsnittlige løpetid for kontantstrømmene fra en obligasjon. Vekten av hver kontantstrøm bestemmes ved å dele nåverdien av kontantstrømmen med prisen. Macaulay-varighet brukes ofte av porteføljeforvaltere som bruker en immuniseringsstrategi.

Macaulay-varigheten kan beregnes:

$\begin{matrix} Macaulay-varighet = \frac{Σ_{t = 1}^{n} (\frac{t x C}{(1 + y)^{t}} + \frac{n x M}{(1 + y)^{n}})}{Nåværende obligasjonspris} \\ hvor: \\ t = respektive tidsperiode \\ C = periodisk kupongbetaling \\ y = periodisk avkastning \\ n = totalt antall perioder \\ M = forfallsverdi \\ Nåværende obligasjonspris = nåverdi av kontantstrømmer \end{matrix} \ begynne {justert} & \ tekst {Macaulay Varighet} = \ frac { sum_ {t = 1} ^ {n} venstre ( frac {t \ ganger C} {(1 + y) ^ t} + \ frac {n \ ganger M} {(1 + y) ^ n} høyre)} { tekst {Nåværende obligasjonspris}} \ & \ textbf {hvor:} \ & t = \ tekst {respektive tidsperiode} \ & C = \ text {periodisk kupongbetaling} \ & y = \ text {periodisk avkastning} \ & n = \ text {total antall perioder} \ & M = \ text {løpetid}} \ & \ text {Nåværende obligasjonspris } = \ text {nåverdi av kontantstrømmer} \ \ end {alger}$ Macaulay-varighet = Gjeldende obligasjonspris∑t = 1n ((1 + y) tt × C + (1 + y) nn × M) hvor: t = respektive tidsperiode C = periodisk kupongbetaling = periodisk avkastning = total antall perioderM = forfallsverdiLøpende obligasjonspris = nåverdi av kontantstrømmer

Forstå Macaulay-varigheten

Metrikken er oppkalt etter skaperen, Frederick Macaulay. Macaulay-varigheten kan sees på som det økonomiske balansepunktet for en gruppe kontantstrømmer. En annen måte å tolke statistikken på er at det er det veide gjennomsnittlige antall år en investor må opprettholde en posisjon i obligasjonen til nåverdien av obligasjonens kontantstrøm tilsvarer det beløpet som er betalt for obligasjonen.

Faktorer som påvirker varigheten

En obligasjons pris, løpetid, kupong og avkastning til forfall alt sammen i beregningen av varighet. Alt annet likt, når modenheten øker, øker varigheten. Når en obligasjons kupong øker, reduseres varigheten. Når rentene øker, reduseres varigheten og obligasjonens følsomhet for ytterligere renteøkninger går ned. Også et synkende fond på plass, en planlagt forskuddsbetaling før forfall og avsetningsavsetninger senker en obligasjons varighet.

Eksempel Beregning

Beregningen av Macaulay-varighet er enkel. Anta et pålydende obligasjon på 1000 dollar som betaler en kupong på 6% og forfaller om tre år. Rentene er 6% per år med halvårlig sammensetning. Obligasjonen betaler kupongen to ganger i året, og betaler hovedstolen for den endelige betalingen. Gitt dette forventes følgende kontantstrømmer de neste tre årene:

$\begin{matrix} Periode 1 : $ 30 \\ Periode 2 : $ 30 \\ Periode 3 : $ 30 \\ Periode 4 : $ 30 \\ Periode 5 : $ 30 \\ Periode 6 : $ 1, 030 \end{matrix} \ begynne {justert} & \ tekst {Periode 1}: \ $ 30 \\ & \ tekst {Periode 2}: \ $ 30 \\ & \ tekst {Periode 3}: \ $ 30 \\ & \ tekst {Periode 4}: \ $ 30 \\ & \ text {Periode 5}: \ $ 30 \\ & \ text {Periode 6}: \ $ 1.030 \\ \ slutt {justert}$ Periode 1: $ 30 Periode 2: $ 30 Periode 3: $ 30 Periode 4: $ 30 Periode 5: $ 30 Periode 6: $ 1 030

Med periodene og kontantstrømmene kjent, må det beregnes en diskonteringsfaktor for hver periode. Dette beregnes som 1 / (1 + r) ⁿ, hvor r er renten og n er det aktuelle periodetallet. Renten, r, sammensatt halvårlig er 6% / 2 = 3%. Dermed ville rabattfaktorene være:

$\begin{matrix} Period 1 Rabattfaktor : 1 \div (1 + . 03)^{1} = 0.9709 \\ Period 2 Rabattfaktor : 1 \div (1 + . 03)^{2} = 0.9426 \\ Period 3 Rabattfaktor : 1 \div (1 + . 03)^{3} = 0.9151 \\ Period 4 Rabattfaktor : 1 \div (1 + . 03)^{4} = 0.8885 \\ Period 5 Rabattfaktor : 1 \div (1 + . 03)^{5} = 0.8626 \\ Period 6 Rabattfaktor : 1 \div (1 + . 03)^{6} = 0.8375 \end{matrix} \ begynne {justert} & \ tekst {Period 1 Rabattfaktor}: 1 \ div (1 +.03) ^ 1 = 0, 9709 \\ & \ text {Period 2 Rabattfaktor}: 1 \ div (1 +.03) ^ 2 = 0, 9426 \\ & \ text {Period 3 Rabattfaktor}: 1 \ div (1 +.03) ^ 3 = 0, 9151 \\ & \ text {Period 4 Rabattfaktor}: 1 \ div (1 +.03) ^ 4 = 0.8885 \\ & \ text {Period 5 Rabattfaktor}: 1 \ div (1 +.03) ^ 5 = 0.8626 \\ & \ text {Period 6 Rabattfaktor}: 1 \ div (1 +.03) ^ 6 = 0, 8375 \\ \ end {justert}$ Periode 1 Rabattfaktor: 1 ÷ (1 +.03) 1 = 0, 9709 Periode 2 Rabattfaktor: 1 ÷ (1 + 0, 03) 2 = 0, 9426 Periode 3 Rabattfaktor: 1 ÷ (1 + 0, 03) 3 = 0, 9151 Periode 4 Rabattfaktor: 1 ÷ (1 + 0, 03) 4 = 0, 8885 Periode 5 Rabattfaktor: 1 ÷ (1 + 0, 03) 5 = 0, 8626 Periode 6 Rabattfaktor: 1 ÷ (1 + 0, 03) 6 = 0, 8375

Deretter multipliserer du periodens kontantstrøm med periodetallet og med tilhørende diskonteringsfaktor for å finne nåverdien av kontantstrømmen:

$\begin{matrix} Periode 1 : 1 x $ 30 x 0.9709 = $ 29.13 \\ Periode 2 : 2 x $ 30 x 0.9426 = $ 56.56 \\ Periode 3 : 3 x $ 30 x 0.9151 = $ 82.36 \\ Periode 4 : 4 x $ 30 x 0.8885 = $ 106.62 \\ Periode 5 : 5 x $ 30 x 0.8626 = $ 129.39 \\ Periode 6 : 6 x $ 1, 030 x 0.8375 = $ 5, 175.65 \\ Σ_{Periode = 1}^{6} = $ 5, 579.71 = teller \end{matrix} \ begynne {justert} & \ tekst {Periode 1}: 1 \ ganger \ $ 30 \ ganger 0.9709 = \ $ 29.13 \\ & \ tekst {Periode 2}: 2 \ ganger \ $ 30 \ ganger 0.9426 = \ $ 56.56 \\ & \ tekst {Periode 3}: 3 \ ganger \ $ 30 \ ganger 0.9151 = \ $ 82.36 \\ & \ tekst {Periode 4}: 4 \ ganger \ $ 30 \ ganger 0.8885 = \ $ 106.62 \\ & \ tekst {Periode 5}: 5 \ ganger \ $ 30 \ ganger 0.8626 = \ $ 129.39 \\ & \ text {Periode 6}: 6 \ ganger \ $ 1.030 \ ganger 0.8375 = \ $ 5175.65 \\ & \ sum _ { text {Period} = 1} ^ {6} = \ $ 5, 579.71 = \ text {teller} \ \ slutt {justert}$ Periode 1: 1 × $ 30 × 0, 9709 = $ 29, 13 Periode 2: 2 × $ 30 × 0, 9426 = $ 56, 56 Periode 3: 3 × $ 30 × 0, 9151 = $ 82, 36 Periode 4: 4 × $ 30 × 0, 8885 = $ 106, 62 Periode 5: 5 × $ 30 × 0, 8626 = 129, 39 USD Periode 6: 6 × $ 1, 030 × 0, 8375 = 5 175, 65 dollar Periode = 1∑6 = 5 599, 71 $ = teller

$\begin{matrix} Nåværende obligasjonspris = Σ_{PV kontantstrømmer = 1}^{6} \\ = 30 \div (1 + . 03)^{1} + 30 \div (1 + . 03)^{2} \\ + \dots + 1030 \div (1 + . 03)^{6} \\ = $ 1, 000 \\ = nevner \end{matrix} \ begynne {justert} & \ tekst {Gjeldende obligasjonspris} = \ sum _ { tekst {PV Kontantstrømmer} = 1} ^ {6} \ & \ fantom { tekst {Nåværende obligasjonspris}} = 30 \ div (1 +.03) ^ 1 + 30 \ div (1 +.03) ^ 2 \\ & \ fantom { text {Gjeldende obligasjonspris} =} + \ cdots + 1030 \ div (1 +.03) ^ 6 \ \ & \ fantom { text {Gjeldende obligasjonspris}} = \ $ 1000 \\ & \ fantom { tekst {Gjeldende obligasjonspris}} = \ tekst {nevner} \ \ end {justert}$ Nåværende obligasjonspris = PV kontantstrømmer = 1∑6 Gjeldende obligasjonspris = 30 ÷ (1 +.03) 1 + 30 ÷ (1 +.03) 2 Nåværende obligasjonspris = + ⋯ + 1030 ÷ (1 +.03) 6Løpende obligasjonspris = 1000 dollar Nåværende obligasjonspris = nevner

(Merk at siden kupongrenten og renten er den samme, vil obligasjonen handle på par)

$\begin{matrix} Macaulay-varighet = $ 5, 579.71 \div $ 1, 000 = 5.58 \end{matrix} \ begynne {justert} & \ tekst {Macaulay Duration} = \ $ 5 579, 71 \ div \ $ 1 000 = 5, 58 \\ \ end {justert}$ Macaulay-varighet = 5 599, 71 dollar ÷ 1 000 dollar = 5, 58

En kupongbetalende obligasjon vil alltid ha varigheten mindre enn løpetiden. I eksemplet over er varigheten på 5, 58 halvår mindre enn løpetiden på seks halvår. Med andre ord, 5, 58 / 2 = 2, 79 år er mindre enn tre år.

Innholdsfortegnelse:

Macaulay-varighet

Hva er Macaulay-varigheten