Black scholes-modelldefinisjon

Innholdsfortegnelse

Hva er Black Scholes-modellen?
Grunnleggende om BSM-modellen
Black Scholes-formelen
Hva forteller modellen deg?
begrensninger

Hva er Black Scholes-modellen?

Black Scholes-modellen, også kjent som Black-Scholes-Merton (BSM) -modellen, er en matematisk modell for å prissette en opsjonskontrakt. Spesielt estimerer modellen variasjonen over tid for finansielle instrumenter som aksjer, og å bruke den underforståtte volatiliteten til den underliggende eiendelen avleder prisen på en kjøpsopsjon.

Viktige takeaways

Black-Scholes Merton (BSM) -modellen er en differensiallikning som brukes til å løse for opsjonspriser. Modellen vant Nobelprisen i økonomi. Standard BSM-modellen brukes bare til å prissette europeiske opsjoner og tar ikke hensyn til at amerikanske opsjoner kunne utøves før utløpsdatoen.

Grunnleggende om Black Scholes-modellen

Modellen antar at prisen på sterkt omsatte eiendeler følger en geometrisk brunsk bevegelse med konstant drift og volatilitet. Når den brukes på en aksjeopsjon, inkluderer modellen den konstante kursvariasjonen på aksjen, tidsverdien på pengene, opsjonens streikpris og tiden til opsjonens utløp.

Også kalt Black-Scholes-Merton, det var den første mye brukte modellen for prisfastsetting av opsjoner. Det brukes til å beregne den teoretiske verdien av opsjoner ved å bruke nåværende aksjekurser, forventet utbytte, opsjonens strykpris, forventet rente, tid til utløp og forventet volatilitet.

Formelen, utviklet av tre økonomer - Fischer Black, Myron Scholes og Robert Merton - er kanskje verdens mest kjente prisfastsettelsesalternativ for alternativer. Det ble introdusert i deres papir fra 1973, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities, " publisert i Journal of Political Economy . Black gikk bort to år før Scholes og Merton ble tildelt Nobelprisen i økonomi 1997 for sitt arbeid med å finne en ny metode for å bestemme verdien av derivater (Nobelprisen blir ikke gitt postum, men Nobelkomiteen erkjente Blacks rolle i den Black-Scholes-modell).

Black-Scholes-modellen gjør visse antagelser:

Alternativet er europeisk og kan bare utøves ved utløp. Det utbetales ikke utbytte i løpet av opsjonens levetid. Markedene er effektive (dvs. markedsbevegelser kan ikke forutsies). Det er ingen transaksjonskostnader ved å kjøpe opsjonen. Risikoen- fri rente og volatilitet for det underliggende er kjent og konstant. Avkastningen på det underliggende fordeles normalt.

Mens den opprinnelige Black-Scholes-modellen ikke vurderte effekten av utbytte utbetalt i løpet av opsjonens levetid, er modellen ofte tilpasset for å redegjøre for utbytte ved å bestemme verdien for utbyttedato for den underliggende aksjen.

Black Scholes-formelen

Matematikken som er involvert i formelen er komplisert og kan være skremmende. Heldigvis trenger du ikke å vite eller forstå matematikken for å bruke Black-Scholes modellering i dine egne strategier. Opsjonshandlere har tilgang til en rekke kalkulatorer for onlineopsjoner, og mange av dagens handelsplattformer kan skryte av robuste verktøy for analyse av opsjoner, inkludert indikatorer og regneark som utfører beregningene og gir ut prisverdiene for opsjonene.

Black Scholes anropsformel beregnes ved å multiplisere aksjekursen med den kumulative standard normal sannsynlighetsfordelingsfunksjonen. Deretter trekkes nettverdien av nåværdien (NPV) av streikprisen multiplisert med den kumulative standard normale fordelingen fra den resulterende verdien av den forrige beregningen.

I matematisk notasjon:

$\begin{matrix} C = S_{t} N (d_{1}) - K e^{- r t} N (d_{2}) \\ hvor: \\ d_{1} = \frac{l n \frac{S_{t}}{K} + (r + \frac{σ_{v}^{2}}{2}) t}{σ_{s} \sqrt{t}} \\ og \\ d_{2} = d_{1} - σ_{s} \sqrt{t} \\ hvor: \\ C = Valgpris \\ S = Nåværende aksjekurs (eller annen underliggende) kurs \\ K = Streikepris \\ r = Risikofri rente \\ t = Tid til forfall \\ N = En normal fordeling \end{matrix} \ begynne {justert} & C = S_t N (d _1) - K e ^ {- rt} N (d _2) \ & \ textbf {hvor:} \ & d_1 = \ frac {ln \ frac {S_t} {K } + (r + \ frac { sigma ^ {2} _v} {2}) t} { sigma_s \ \ sqrt {t}} \ & \ text {og} \ & d_2 = d _1 - \ sigma_s \ \ sqrt {t} \ & \ textbf {hvor:} \ & C = \ text {Samtalepris} \ & S = \ text {Nåværende aksjekurs (eller annen underliggende pris)} \ & K = \ text {Strike price } \ & r = \ text {Risikofri rente} \ & t = \ text {Tid til løpetid} \ & N = \ text {En normal fordeling} \ \ end {alignet}$ C = St N (d1) −Ke − rtN (d2) hvor: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) t andd2 = d1 −σs t hvor: C = KursopsjonS = Gjeldende aksjekurs (eller annen underliggende) prisK = Stikepriser = Risikofri renterett = Tid til løpetidN = En normal fordeling

Black-Scholes modell

Hva forteller Black Scholes-modellen deg?

Black Scholes-modellen er et av de viktigste begrepene i moderne finansteori. Den ble utviklet i 1973 av Fischer Black, Robert Merton og Myron Scholes og er fremdeles mye brukt i dag. Det blir sett på som en av de beste måtene å bestemme rimelige priser på opsjoner. Black Scholes-modellen krever fem inngangsvariabler: strykprisen på en opsjon, den nåværende aksjekursen, tiden til utløpet, den risikofri renten og volatiliteten.

Modellen antar at aksjekursene følger en lognormal fordeling fordi formuesprisene ikke kan være negative (de er avgrenset av null). Dette er også kjent som en Gauss-distribusjon. Ofte er det observert at aktivaprisene har betydelig rett skevhet og en viss grad av kurtose (fetthaler). Dette betyr at høyrisiko nedadgående trekk ofte skjer oftere i markedet enn en normal distribusjon forutsier.

Forutsetningen om lognormale underliggende aktivapriser bør således vise at implisitte volatiliteter er like for hver streikpris i henhold til Black-Scholes-modellen. Imidlertid har implisitte volatiliteter for pengemulighetene siden markedskransen i 1987 vært lavere enn dem lenger utenfor pengene eller langt inne i pengene. Årsaken til dette fenomenet er at markedet er prising med større sannsynlighet for at en høy volatilitet flytter til ulempen i markedene.

Dette har ført til tilstedeværelsen av svingningene i flyktigheten. Når de implisitte volatilitetene for alternativer med samme utløpsdato er kartlagt på en graf, kan du se et smil eller skjev form. Dermed er Black-Scholes-modellen ikke effektiv for å beregne underforstått volatilitet.

Begrensninger i Black Scholes-modellen

Som tidligere nevnt, brukes Black Scholes-modellen bare til å prissette europeiske opsjoner og tar ikke hensyn til at amerikanske opsjoner kan utøves før utløpsdatoen. Dessuten antar modellen at utbytte og risikofri rente er konstante, men dette er kanskje ikke sant i virkeligheten. Modellen antar også at volatiliteten forblir konstant over opsjonens levetid, noe som ikke er tilfelle fordi volatiliteten svinger med nivået på tilbud og etterspørsel.

Videre antar modellen at det ikke er transaksjonskostnader eller skatter; at risikofri rente er konstant for alle løpetider; at kortsalg av verdipapirer med bruk av fortjeneste er tillatt; og at det ikke er risikofrie arbitrage-muligheter. Disse forutsetningene kan føre til priser som avviker fra den virkelige verden der disse faktorene er til stede.

Innholdsfortegnelse: