Verdsettelsesalternativer kan være en vanskelig virksomhet. Tenk på følgende scenario: I januar 2015 handlet IBM-aksjen til $ 155 og du regnet med at den ville gå høyere i løpet av det neste året. Du har tenkt å kjøpe en kjøpsopsjon på IBM-aksjen med en ATM-kurs på $ 155, og forventer å dra fordel av høy prosentvis avkastning, basert på en liten opsjonskostnad (opsjonspremie), sammenlignet med aksjekjøpet med en høy kjøpesum.
Hva skal være virkelig verdi av dette anropsalternativet på IBM?
I dag er et par forskjellige ferdige metoder tilgjengelige for verdivalg - inkludert Black-Scholes-modellen og binomialtreet-modellen - som kan gi raske svar. Men hva er de underliggende faktorene og drivkonseptene for å komme frem til slike verdsettelsesmodeller? Kan noe lignende tilberedes, basert på konseptet med disse modellene?
Her dekker vi byggesteinene, underliggende konsepter og faktorene som kan brukes som rammeverk for å bygge en verdsettelsesmodell for en eiendel som opsjoner, og gir en side-ved-side-sammenligning med opprinnelsen til Black-Scholes (BS)) modell.
Verden før Black-Scholes
Før Black-Scholes ble den likevektsbaserte Capital Asset Pricing Model (CAPM) fulgt vidt. Avkastningen og risikoen ble balansert med hverandre, basert på investorens preferanse, dvs. en investor med høy risikotaking forventes å bli kompensert med (potensialet til) høyere avkastning i en tilsvarende andel.
BS-modellen finner sine røtter i CAPM. I følge Fisher Black: "Jeg benyttet Capital Asset Pricing Model i hvert øyeblikk i en warrants levetid, for alle mulige aksjekurser og garanteringsverdier." Dessverre klarte CAPM ikke å oppfylle kravet om prisfastsettelse av optioner.
Black-Scholes er fortsatt den første modellen, basert på begrepet arbitrage, som gjør et paradigmeskifte fra risikobaserte modeller (for eksempel CAPM). Denne nye BS-modellutviklingen erstattet CAPM-aksjeavkastningskonseptet med erkjennelsen av at en perfekt sikret posisjon vil tjene en risikofri rente. Dette tok ut risiko- og avkastningsvariasjoner, og etablerte begrepet arbitrage der verdivurderinger utføres på forutsetninger om risikonøytralt konsept - en sikret (risikofri) stilling skal føre til en risikofri avkastningskurs.
Utviklingen av Black-Scholes
La oss starte med å etablere problemet, kvantifisere det og utvikle et rammeverk for løsningen. Vi fortsetter med vårt eksempel på å verdsette ATM-samtaleopsjonen på IBM med en streikpris på $ 155 med ett år til utløpet.
På bakgrunn av den grunnleggende definisjonen av en samtaleopsjon, med mindre aksjekursen treffer streikprisnivået, forblir gevinsten null. Etter dette nivået øker utbetalingen lineært (dvs. en økning på en dollar i det underliggende vil gi en utbetaling på 1 dollar fra samtalen).
Forutsatt at kjøper og selger er enige om virkelig verdsettelse (inkludert nullpris), vil den teoretiske virkelige prisen for dette anropsalternativet være:
- Valgpris = 0 dollar, hvis underliggende <streik (rød graf) Prisopsjon = (underliggende - streik), hvis underliggende> = streik (blå graf)
Dette representerer alternativets egenverdi og ser perfekt ut fra en kjøper av en opsjonskjøp. I den røde regionen har både kjøper og selger en rettferdig verdivurdering (nullpris til selger, null utbetaling til kjøper). Verdsettelsesutfordringen starter imidlertid med den blå regionen, ettersom kjøperen har fordelen av en positiv utbetaling, mens selgeren lider under tap (forutsatt at den underliggende prisen går over streikprisen). Det er her kjøperen har en fordel over selgeren med nullpris. Prisingen må være ikke-null for å kompensere selgeren for risikoen han tar.
I det tidligere tilfellet (rød graf) mottas teoretisk nullpris av selgeren, og det er null utbetalingspotensial for kjøperen (rettferdig for begge deler). I sistnevnte tilfelle (blå graf) skal forskjellen mellom det underliggende og streiken betales av selgeren til kjøperen. Selgers risiko spenner over varigheten av et helt år. For eksempel kan den underliggende aksjekursen bevege seg veldig høy (si til $ 200 om fire måneder), og selgeren må betale kjøperen differansen på $ 45.
Dermed koker det ned til:
- Vil prisen på det underliggende krysse strykprisen? Hvis den gjør det, hvor høy kan den underliggende prisen gå (da det vil avgjøre utbetalingen til kjøperen)?
Dette indikerer den store risikoen som selgeren tar, noe som fører til spørsmålet - hvorfor vil noen selge en slik samtale hvis de ikke får noe for risikoen de tar?
Målet vårt er å komme frem til en pris som selgeren skal belaste kjøperen, noe som kan kompensere ham for den totale risikoen han tar over et års tid - både i nullbetalingsregionen (rød) og den lineære betalingsregionen (blå). Prisen skal være rettferdig og akseptabel for både kjøper og selger. Hvis ikke, vil den som er i ulempe med hensyn til å betale eller motta urettferdig pris ikke delta i markedet og dermed beseire formålet med handelsvirksomheten. Black-Scholes-modellen har som mål å etablere denne rettferdige prisen ved å vurdere konstant prisvariasjon på aksjen, tidsverdien på pengene, opsjonens streikpris og tiden til opsjonens utløp. På lik linje med BS-modellen, la oss se hvordan vi kan tilnærme oss for å evaluere dette for vårt eksempel ved å bruke våre egne metoder.
Hvordan evaluere egenverdi i blå region?
Et par metoder er tilgjengelige for å forutsi den forventede prisbevegelsen i fremtiden i løpet av en gitt tidsramme:
- Man kan analysere lignende prisbevegelser av samme varighet i den siste tiden. Den historiske IBMs sluttkurs indikerer at prisen det siste året (2. januar 2014 til 31. desember 2014) falt til 160, 44 dollar fra 185, 53 dollar, en nedgang på 13, 5%. Kan vi avslutte et prisutvikling på -13, 5% for IBM? En ytterligere detaljert sjekk indikerer at det rørte et årlig høyt på 199, 21 dollar (10. april 2014) og et årlig lavt på 150, 5 dollar (16. desember 2014). Basert på startdagen 2. januar 2014 og lukkekursen på $ 185.53, varierer den prosentvise endringen fra + 7, 37% til -18, 88%. Nå ser variasjonsområdet mye bredere ut sammenlignet med den tidligere kalkulerte nedgangen på 13, 5%.
Tilsvarende analyse og observasjoner av historiske data kan utføres. For å fortsette vår prisutviklingsmodell, la oss anta denne enkle metodikken for å måle fremtidige prisvariasjoner.
Anta at IBM stiger 10% hvert år (basert på de siste 20 års historiske data). Grunnleggende statistikk indikerer at sannsynligheten for at IBM-aksjekursendringen svever rundt + 10% vil være mye høyere enn sannsynligheten for at IBM-prisen stiger 20% eller synker 30%, forutsatt at historiske mønstre gjentar seg. Ved å samle lignende historiske datapunkter med sannsynlighetsverdier, kan en samlet forventet avkastning på IBMs aksjekurs i løpet av ett år beregnes som et veid gjennomsnitt av sannsynligheter og tilhørende avkastning. Anta for eksempel at historiske prisdata fra IBM indikerer følgende trekk:
- (-10%) i 25% av ganger, + 10% i 35% av ganger, + 15% i 20% av ganger, + 20% i 10% av ganger, + 25% i 5% av ganger og (-15%) i 5% av ganger.
Det vektede gjennomsnittet (eller forventet verdi) kommer derfor til:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
Det vil si at i gjennomsnitt forventes prisen på IBM-aksjen å returnere + 6, 5% om ett års tid for hver dollar. Hvis noen kjøper IBM-aksjen med ett års horisont og en kjøpesum på 155 dollar, kan man forvente en netto avkastning på 155 * 6, 5% = 10.075 dollar.
Dette er imidlertid for aksjeavkastningen. Vi må se etter lignende forventet avkastning for samtalealternativet.
Basert på null utbetaling av samtalen under strykprisen (eksisterende $ 155 - ATM-samtale) vil alle negative trekk generere null utbetalinger, mens alle positive trekk over strykprisen vil generere tilsvarende utbetaling. Den forventede avkastningen for samtalealternativet vil således være:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
Det vil si at for hver 100 dollar som investeres i å kjøpe dette alternativet, kan man forvente 9, 75 dollar (basert på forutsetningene ovenfor).
Imidlertid er dette fortsatt begrenset til virkelig verdsettelse av den egentlige mengden opsjon og fanger ikke riktig risikoen som opsjeselgeren bærer for høye svinger som kan oppstå i mellomtiden (i tilfelle ovennevnte intrayear høy og lav priser). I tillegg til egenverdien, hvilken pris kan kjøper og selger bli enige om, slik at selgeren blir rettferdig kompensert for risikoen han tar over ett års tidsramme?
Disse svingningene kan variere mye, og selgeren kan ha sin egen tolkning av hvor mye han ønsker å bli kompensert for det. Black-Scholes-modellen forutsetter alternativer av europeisk type, dvs. ingen øvelse før utløpsdatoen. Dermed forblir det upåvirket av mellomliggende prisendringer og baserer sin verdsettelse på sluttdager.
I virkelig dagshandel spiller denne volatiliteten en viktig rolle i å bestemme opsjonsprisene. Den blå utbetalingsfunksjonen som vi ofte ser, er faktisk utbetalingen på utløpsdatoen. Realistisk sett er opsjonsprisen (rosa graf) alltid høyere enn utbetalingen (blå graf), noe som indikerer prisen som selgeren har tatt for å kompensere for risikotagelsesevnen hans. Dette er grunnen til at opsjonsprisen også kalles opsjonen "premie" - som vesentlig indikerer risikopremien.
Dette kan inkluderes i vår verdsettelsesmodell, avhengig av hvor mye volatilitet som forventes i aksjekursen og hvor mye forventet verdi som vil gi.
Black-Scholes-modellen gjør det effektivt (selvfølgelig innenfor sine egne forutsetninger) som følger:
C = S x N (d1) -X x e-RTN (d2)
BS-modellen forutsetter lognormal fordeling av aksjekursbevegelser, noe som rettferdiggjør bruken av N (d1) og N (d2).
- I den første delen indikerer S dagens aksjekurs. N (d1) indikerer sannsynligheten for den nåværende kursbevegelsen på aksjen.
Hvis dette alternativet går i pengene slik at kjøperen kan benytte seg av dette alternativet, vil han få en andel av den underliggende IBM-aksjen. Hvis den næringsdrivende utøver den i dag, representerer S * N (d1) dagens forventede verdi av alternativet.
I den andre delen indikerer X strykprisen.
- N (d2) representerer sannsynligheten for at aksjekursen er over strykprisen. Så X * N (d2) representerer den forventede verdien av aksjekursen som er igjen over strykprisen.
Ettersom Black-Scholes-modellen antar alternativer i europeisk stil der trening kun er mulig på slutten, bør forventet verdi representert ovenfor av X * N (d2) diskonteres for tidsverdien av pengene. Derfor blir den siste delen multiplisert med eksponentiell sikt hevet til renten over tidsperioden.
Nettoforskjellen på de to begrepene indikerer prisverdien på opsjonen i dag (hvor den andre termin er nedsatt)
I våre rammer kan slike prissvingninger inkluderes mer nøyaktig på flere måter:
- Ytterligere avgrensning av forventet avkastningsberegning ved å utvide rekkevidden til finere intervaller til å inkludere intraday / intrayear prisbevegelser Inkludering av dagens markedsdata, da det gjenspeiler dagens aktivitet (lik implisitt volatilitet) Forventet avkastning på utløpsdatoen, som kan diskonteres tilbake til i dag for realistiske verdivurderinger og reduseres ytterligere fra dagens verdi
Dermed ser vi at det ikke er noen grense for antagelser, metodologier og tilpasning som skal velges for kvantitativ analyse. Avhengig av eiendelen som skal omsettes eller investering som skal vurderes, kan det arbeides med en egenutviklet modell. Det er viktig å merke seg at volatilitet i prisbevegelser i forskjellige aktivaklasser varierer mye - aksjer har svingninger i volatilitet, forex har volatilitet rynker - og brukerne bør innlemme gjeldende volatilitetsmønstre i modellene sine. Forutsetninger og ulemper er en integrert del av enhver modell, og kunnskapsrik anvendelse av modeller i virkelige handelsscenarier kan gi bedre resultater.
Bunnlinjen
Når komplekse eiendeler kommer inn i markedene eller til og med vanilje eiendeler som kommer inn i komplekse former for handel, blir kvantitativ modellering og analyse obligatorisk for verdsettelse. Dessverre kommer ingen matematisk modell uten et sett av ulemper og forutsetninger. Den beste tilnærmingen er å holde forutsetningene til et minimum og være klar over de underforståtte ulempene, som kan bidra til å trekke linjene om modellenees bruk og anvendbarhet.
